El Aritmómetro

Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano (1887) | Del francés arithmomètre y del griego άριθμός, número y μέτρον, medida. La simplificación de los cálculos se ha considerado siempre asunto tan importante, que mereció, desde hace mucho tiempo, que los sabios matemáticos más notables dedicaran a este estudio su inteligencia y su actividad. Entre ellos citaremos a Neper, Pascal, Leibniz y Babbage.

Los instrumentos de cálculo inventados hasta ahora se pueden dividir en tres clases: 1ª aquellos que exigen el empleo de la inteligencia humana; 2ª las máquinas automáticas que suplen por completo a esta última, y 3ª las tablas donde se encuentran hechos los cálculos, o, por lo menos, preparados. Mr. Th. Olivier, en un folleto sobre la máquina de Roth, consignó que desde 1624, en que Gunther construyó la regla de cálculo, hasta 1840, se habían inventado 20 instrumentos de la primera especie y 17 de la segunda. En este artículo solo nos ocuparemos de estos últimos.

Las 17 máquinas autómatas citadas, se pueden clasificar en tres géneros distintos: 1º aparatos sumadores; 2º aparatos para ejecutar las cuatro operaciones fundamentales de la Aritmética, y 3º aparatos destinados a ejecutar cálculos superiores.

Primer género. Entre éstos citaremos la máquina de Pascal, cuya invención consumió parte de la vida de este matemático, y que, a pesar de la inteligencia de su autor, fue un aparato pesado, voluminoso, y, sobre todo, imperfecto; la de Lepine de difícil aplicación, y la de Roth, construida en 1843, y que resolvía por completo el problema.

Segundo género. Leibniz presentó el proyecto de una máquina de esta clase, que no llegó a construir por ser demasiado costosa. Lord Mahon inventó en 1776 dos máquinas de cálculo; una para sumas y restas; la otra para multiplicaciones y divisiones, cuyo mecanismo es desconocido. En 1822 M. Thomas de Colmar presentó a la Société d’encouragement una máquina de calcular, a la que dio el nombre de Aritmómetro, que, perfeccionada después, obtuvo un premio de esta Sociedad en 1851, y cuyo estudio va ser el objeto de este artículo.

Tercer género. Mr. Babbage proyectó en 1821 una máquina que daba los términos de una progresión por diferencia; después Mr. Scheutz otra para la formación de series, y más adelante se propusieron otras varias que juzgamos inútil citar.

Descripción del Aritmómetro. El aritmómetro se compone de una caja de 38 centímetros de longitud por 16 cm. de ancho y 7 cm. de alto, en el modelo pequeño, y de 55 cm. de largo, con el mismo ancho e igual altura en el tipo grande. Abierta la caja se encuentra una manivela N, terminada por un botón de marfil que se puede levantar y bajar; la citada manivela N no puede girar más que de izquierda a derecha, y sirve como motor al resto del mecanismo. A la izquierda de N hay una serie de ranuras paralelas, en donde deslizan botones A de cobre, y al lado de aquellas se escriben los números de cero a nueve.

La primera ranura de la derecha representa las unidades sencillas, la segunda las decenas, la tercera las centenas, y así sucesivamente. Se dice que se escribe un número, cuando se pone el botón A enfrente de la cifra que la representa. A la izquierda de este conjunto de ranuras hay otra más pequeña en donde se mueve el botón B; en su parte superior lleva escrito: Adición y Multiplicación, y en la inferior, Sustracción y División. Encima de este conjunto de partes, hay una larga y estrecha platina MM, susceptible de levantarse y de poderse correr de izquierda a derecha por medio del botón P. En la platina MM hay abiertos una serie de cuadros C, armado cada uno de ellos de un agujero que lleva las cifras de cero a nueve, y que se mueve por medio de un botón C. Debajo de estos, y sobre la misma platina, hay otros agujeros más pequeños, armados también con sus correspondientes cuadros y botones D, y, por último, a la derecha de la figura hay un botón O, destinado a poner el cero de los cuadros enfrente de los agujeros de la platina.

Mecanismo. Debajo de la platina general que cubre el aparato, hay un sistema de engranajes que constituyen su mecanismo, cuya teoría científica vamos a exponer en breves palabras. La máquina que forma el aritmómetro, se compone de cierto número de cilindros colocados paralelamente los unos a los otros, y movidos por el mismo árbol, de tal manera que cada vuelta de la manivela N, los cilindros hacen también una revolución.

Los cilindros están armados de resaltos en una parte de su circunferencia, la mitad generalmente, como veremos después, dispuestos de tal manera, que en unos puntos los cilindros están completamente lisos, en otros presentan una especie de diente, en otros dos, y así hasta nueve, número máximo de resaltos que tiene el sistema. Encima de cada cilindro hay un piñón, cuyo eje es paralelo al de éste, y que puede correr sobre él, de tal modo que es fácil colocarlo delante de la parte cilíndrica que se quiera. Estos piñones están unidos a los botones D, de tal suerte que cuando éstos se colocan enfrente de una de las cifras que llevan las ranuras, la pequeña rueda encuentra en el cilindro motor otros tantos resaltos o dientes y por tanto su eje, al moverse la máquina, da igual número de vueltas.

En el extremo del eje que conduce el piñón, hay otro fijo que hace girar a uno de los cuadros numerados que hay que hay debajo de los agujeros C de la platina, y hace que las cifras vayan apareciendo sucesivamente en el fondo de la abertura.

Supongamos, para fijar la atención, que el número de cilindros, cuadros, ranuras y piñones es seis; y admitamos además que todos los cuadros están a cero y que tenemos escrito en las ranuras de la máquina un número de seis cifras; por ejemplo: 745721. Es evidente que, al dar una vuelta a la manivela, el primer cuadro correrá tan solo una cifra, y el segundo dos, el tercero siete, el quinto cuatro y así los demás, con lo cual aparecerá en la fila superior de agujeros de la platina, el número 745721 que teníamos escrito en las ranuras de la máquina. Si ahora escribimos el número 133178, y damos de nuevo una vuelta a la manivela, se comprenderá fácilmente que en la platina aparecerá la suma de los números anteriores, o sea 878899. De esta manera se podría continuar hasta que la suma de las cifras de un cierto orden sea mayor que nueve, en cuyo caso hay que añadir una unidad a la suma siguiente, o lo que es lo mismo, correr un lugar el cuadro correspondiente. Para ejecutar este movimiento, al llegar uno de los cuadros a la cifra 9, arma un engalgue que va ligado al siguiente, y al terminar la operación de la suma, que se verifica en una semirevolución del eje, pues los resaltos o dientes solo ocupan una semicircunferencia, se aprovecha la motriz de la semirevolución restante, para soltar el engalgue y hacer avanzar un lugar el cuadro siguiente que sigue al que se considera. Tal es en pocas palabras la teoría del Aritmómetro, no entrando por falta de lugar, a describir los engranajes y piezas accesorias que facilitan estos movimientos.

Si la manivela N en lugar de girar de izquierda a derecha lo hiciera de derecha a izquierda, la operación anterior se transformaría en una resta; pero para evitar que la manivela N tenga estos dos movimientos, el aritmómetro lleva un botón B, que al deslizar en su ranura cambia, por medio de un sencillo conmutador, el sentido de la marcha.

Suma. Para sumar los números A, B y C se escribe primero la cantidad A en las ranuras de la máquina, se da una vuelta a la manivela N, y este número aparece en los agujeros C. Después se escribe en las ranuras A el número se escribe en las ranuras A el número B y se encuentra en la platina M la suma A+B sin más que hacer girar la pieza N. De una manera análoga se encontrará la cantidad A+B+C, y así sucesivamente si hubiera más sumandos. Hay que advertir que, para ejecutar esta operación, el botón B debe marcar: Adición y Multiplicación.

Resta. Para restar los números A y B se empieza por poner el botón B enfrente de la indicación: Sustracción y División. Se escribe el minuendo en los agujeros C de la platina, ya por medio de los botones C, ya previamente con las ranuras A; después se escribe en éstas el sustraendo B, se hace girar la manivela N y la resta aparece en las aberturas C de la platina M.

Multiplicación. Si se trata de multiplicar un número A por un dígito 5 por ejemplo, se escribe la cantidad dada en las ranuras A, y se da cinco vueltas la manivela N, y en los agujeros C de la platina M aparecerá el producto 5 A, y en las pequeños aberturas D el multiplicador 5. Si queremos multiplicar la cantidad S por el número polidígito 3457 por ejemplo, se procede de la siguiente manera: se multiplica primero S por 7, después se corre la platina M hasta que el segundo agujero D se encuentre enfrente de la primera ranura A, y se dan cinco vueltas a la manivela; se corre después otro lugar a la platina y se repite la operación con el cuatro y así sucesivamente. Es evidente que el numero final será el producto que se busca, puesto que es la suma, convenientemente colocada, de los productos parciales 7 S, 5 S, 4 S y 3 S.

División. Para hacer una división por medio del aritmómetro, se escribe el dividendo en las aberturas C y el divisor en las ranuras A, se toma la parte del dividendo que, dividida por divisor, da la primera cifra del cociente, y se corre la platina hasta que la ultima cifra de aquella coincida con la primera ranura A. Después se baja el botón B hasta que marque Sustracción y División, y se resta la parte del dividendo tantas veces como se pueda el divisor, cuyo numero aparecerá en la apertura correspondiente D y será la primera cifra del cociente. Hecho esto se corre un lugar hacia la izquierda la platina M, y se resta tantas veces como se pueda el nuevo dividiendo el divisor, y se encontrará en las aberturas D la segunda cifra del cociente. Por este procedimiento podremos encontrar todas las cifras de este número y el resto de la división.

Potencias. La cuestión queda reducida a multiplicar, por medio del aritmómetro, un numero por sí mismo para el cuadrado; este producto por el número primero por la tercera y así sucesivamente.

Raíz cuadrada. Para ejecutar esta operación basta seguir la regla general que indica la aritmética, haciendo por medio del aritmómetro las operaciones parciales.

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El Mecanismo de Anticitera

Aunque en Wikipedia y en YouTube encontrarás amplia información sobre esta máquina, no he podido resistirme a escribir algo sobre ella nada más llegar de Atenas y visitar el Museo Arqueológico Nacional.

Son numerosos los detalles que hacen que te invada la emoción cuando estás frente a la vitrina que aloja sus restos. El primero y más importante es la perplejidad que causa comprobar que esta máquina fue construida hace más de 2000 años. Siempre hemos conocido el refinamiento estético existente en la Grecia clásica, su elevado nivel científico o su desarrollado pensamiento filosófico. De lo que apenas teníamos noticia es que también poseían un profundo conocimiento técnico para representar mecánicamente sus teorías astronómicas. A través de este modelo mecánico que es Anticitera, los sabios griegos podían conocer las fases lunares, predecir eclipses, la posición de los astros por ellos conocidos y cuando se celebrarían juegos olímpicos.  En este sentido el mecanismo de Anticitera ha de ser considerado un computador analógico donde, a través de un modelo mecánico, se recrean las ecuaciones matemáticas que describen el movimiento de los astros. El usuario de este “ordenador” podía cambiar las variables de entrada (fecha) para conocer el estado del firmamento de ese momento.

Antes de que los científicos desentrañaran el funcionamiento del mecanismo de Anticitera se pensaba que los primeros “ordenadores analógicos” eran los astrolabios y los relojes astronómicos árabes. Hoy la comunidad científica no duda que el antecesor de todos estos mecanismos es Anticitera. Estos mismos científicos trazan con claridad la ruta del saber mecánico desde la Grecia clásica hasta Bizancio y de ahí al mundo islámico, y de vuelta a Europa a través de España. Además, tras entender el funcionamiento de Anticitera, adquieren un nuevo sentido los textos donde Cicerón (106 a.C – 43 a.C) describe una máquina similar a Anticitera obra del genial Arquímedes (286 a.C – 212 a.C). Esta máquina de Arquímedes perfectamente podría ser la precursora de esta clase de ingenios.

Cuando uno contempla el amasijo de metal corroído que ha llegado hasta nuestros días, solo puede pensar en la suerte que ha tenido la humanidad al rescatar –casualmente- del fondo del mar algo tan “irrelevante” a simple vista. Fueron unos pescadores de esponjas los que en 1901 encontraron los restos de un naufragio frente a las costas de la isla griega de Anticitera. Afortunadamente, durante su inmersión, aquellos pescadores se toparon con bellas estatuas de bronce y… un raro objeto de escaso valor… Aquel descubrimiento sería el inicio de nuevas prospecciones para intentar recuperar más fragmentos del extraño artefacto y completar el rompecabezas. Setenta años después hasta el propio Jacques Cousteau participaría en la búsqueda.

Por último, cuando estaba frente a Anticitera, no pude dejar de maravillarme por el tesón que han demostrado un grupo de matemáticos, arqueólogos, ingenieros e historiadores de todo el mundo para comprender y recrear su funcionamiento, y así despejar definitivamente las sombras del misterio.

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Minivac 601

Adolfo García Yagüe | Habitualmente la historia de la Informática Personal se cuenta a partir de 1975, fecha del lanzamiento del Altair 8800 de MITS. Otros prefieren establecer el punto de partida un año después, coincidiendo con la aparición del Apple 1 o incluso en 1977, año del Apple II. También sería razonable justificar el inicio de esta historia tras la publicación en julio del 74, dentro de la revista Radio-Electronics, del kit para la construcción del ordenador Mark-8. De lo que no hay duda es que es en la década de los años 70, a partir de la invención del microprocesador por parte de Intel, cuando se desarrolla el concepto de ordenador personal o microordenador, y esto sucedió en 1971.

Toda historia tiene una prehistoria. En nuestro caso la prehistoria de la Informática Personal correspondería a aquellas máquinas que no estaban basadas en microprocesadores es decir, computadoras que funcionaban con relés, válvulas de vacío o transistores. En el siguiente texto hablaré de una de esas máquinas, el Minivac 601, comercializado en 1961 por Scientific Development Corporation.

El Minivac 601 tiene algo de objeto de culto por dos razones. La primera se debe a la persona que lo ideó y diseño: el Dr. Claude E. Shannon (1916-2001), padre de la Teoría Matemática de la Comunicación (1948) que es, como sabéis, la base matemática sobre la que reposa la transmisión de datos e intercambio de información entre sistemas. Aspectos cotidianos como el ancho de banda, la corrección de errores, la compresión de la información o el cifrado de las comunicaciones hunden sus raíces en la citada Teoría. Además Shannon, en 1938, publico la tesis titulada Análisis Simbólico de Relés y Circuitos de Conmutación donde se sientan las bases matemáticas para el desarrollo de ingenios electrónicos como autómatas, calculadoras o centrales telefónicas empleando relés. Por otra parte el nombre Minivac nos trae a la memoria los relatos de ciencia ficción escritos por Isaac Asimov (1920-1992) a partir de 1955 protagonizados por superordenadores de la serie Multivac. A su vez Asimov se inspiró en Univac, el primer gran ordenador que se comercializó en Estados Unidos en 1951.

Cuando se habla de esta máquina es común el error de categorizarlo junto a ordenadores analógicos que aparecieron por la misma época y que tenían un aspecto similar. Aquellos ordenadores analógicos eran equipos que simulaban mediante circuitos electrónicos un modelo matemático donde, las variables de entrada y datos de salida, eran representados por variaciones de tensión, corriente, resistencia, capacidad, etc.  En aquellas máquinas analógicas, al igual que en el Minivac 601, eran característicos los paneles de usuario repletos de conectores y cables que interconectaban entre sí diferentes módulos. No obstante, a diferencia de los “analógicos”, esta máquina es digital. Es decir, el 601 trabaja con solo con dos estados eléctricos. Para trabajar con los dos estados eléctricos el Minivac recurre a relés, pulsadores y conmutadores. Esto significa que estamos delante de un ingenio electromecánico que nos acerca a los ordenadores creados a partir de 1937 por George Stibitz (1904-1995) en los Laboratorios Bell; la serie de máquinas Z1 (1938), Z2, Z3 y Z4 del alemán Konrad Zuse (1910-1995); así como al célebre ordenador Mark I, puesto en servicio en 1944 por IBM y la Universidad de Harvard. Por último no hay que olvidar a Simon, que es considerado el primer ordenador personal de la historia, diseñado en 1950 por Edmund C. Berkeley (1909-1988).

Créeme, si abres el Minivac no encontraras válvulas o transistores, ni mucho menos circuitos integrados. Obviamente, semejante sencillez condiciona lo que puede hacer por nosotros este equipo. Entonces ¿Qué tipo de problemas podemos plantear al Minivac 601 para concederle el calificativo de computadora? Pues bien, mediante esta máquina es posible programar o configurar pequeños circuitos eléctricos para realizar operaciones de álgebra binaria que es, en última instancia, el pilar sobre el que se sustenta cualquier ordenador de hoy en día. Incluso -en el ámbito industrial- este equipo llegó a emplearse como un autómata programable para control de procesos. Si echas un vistazo al panel de Minivac identificarás una serie de controles que se distribuyen en seis secciones. Cada sección consta de una fuente de alimentación de 12V, dos lámparas, un relé DPDT (doble polo doble tiro), 1 conmutador deslizante de tres posiciones y dos circuitos y 1 pulsador de dos posiciones y un circuito. En el margen derecho del Minivac disponemos de un conmutador rotatorio de 16 posiciones que puede funcionar de forma manual o, al aplicarle tensión, motorizado. Por último, en la esquina superior derecha, hay una matriz de 3 por 3 conexiones. Todos los elementos anteriores son accesibles a través de miniconectores que permiten la conexión de los cables con los que “programaremos” nuestros circuitos eléctricos. Cada uno de estos conectores está identificado con una combinación de un número y una letra. El número se refiere al número de sección (de 1 a 6) y la letra indica el conector (de la A a la Z).

Un programa de Minivac consiste en un listado de las conexiones que realizaremos mediante cables entre parejas de miniconectores. Los siguientes circuitos eléctricos AND, OR, XOR y NOT, e incluso algunos más complejos combinando estos, son fáciles de realizar en el Minivac sin ningún conocimiento especial. Tan solo hay poner un poco de cuidado para no equivocarnos en las conexiones y, sobre todo, intentar entender y predecir su comportamiento antes de ponernos manos a la obra: es decir, pensar con lógica.

Álgebra de Boole y circuitos eléctricos
En 1847 George Boole (1815-1864) sentó las bases de la lógica matemática a través de su obra The Laws of Thought. Desde tiempos de Aristóteles la lógica pertenecía al dominio intelectual de la filosofía y fue Boole quién, a través un profundo desarrollo de la simbología lógica y reglas específicas para operar con estos símbolos, desarrolló una nueva rama de las matemáticas con un lenguaje propio: el Álgebra de Boole. Los preceptos de Boole junto con las aportaciones de -entre otros- Augustus De Morgan (1806-1871) y Edward V. Huntington (1874-1952) llegaron hasta Claude Shannon quién, en 1938, trasladó todo este poso matemático al diseño eléctrico con relés y la conmutación de circuitos.

En la imagen anterior se ilustra un circuito donde dos interruptores, en serie, controlan el paso de corriente desde una batería hasta una bombilla. Estos interruptores tienen dos estados posibles: abierto (OFF), no pasa corriente; y cerrado (ON), circula la corriente. A su vez la lámpara también puede tener dos estados: apagada (OFF) y encendida (ON). Las posibles configuraciones de este circuito quedan resumidas en la tabla anexa que, en lo sucesivo, denominaremos tabla de la verdad. A este circuito lógico se le denomina AND y nos indica que se produce un efecto cuando se dan dos condiciones. Si solo se da una condición no hay efecto, es decir, no se enciende la luz. Como podéis apreciar, en el circuito anterior es necesaria la participación de un operario que interactúe con los interruptores para abrirlos o cerrarlos. Esta intervención puede ser automatizada mediante relés.

Un relé es un dispositivo electromecánico basado en un electroimán. Este es capaz de accionar un interruptor cuando recibe corriente eléctrica. En estado de reposo, es decir, sin alimentar el electroimán, el circuito activo es el que corresponde a la posición NC (Normally Closed), mientas que el relé estará en posición NO (Normally Open) cuando apliquemos tensión al electroimán, como es el caso de la imagen anterior. Otra de las ventajas del uso de relés reside en la independencia entre el circuito de control del electroimán y los circuitos de servicio (NC y NO). Esta característica facilita el control de sistemas de alta potencia eléctrica mediante circuitos de baja o muy baja tensión.

Otro circuito elemental es el denominado OR. Su representación eléctrica consiste en dos interruptores en paralelo controlando el paso de corriente hasta la bombilla. En este caso, en cuanto se dé una de las dos condiciones posibles (cierre de un interruptor), la bombilla se enciende.

A continuación comentaremos el circuito denominado XOR (eXclusive OR). En él activamos la bombilla sólo cuando A y B son diferentes. La puerta lógica XOR, en combinación con AND y OR, se puede emplear como un sumador de un bit.  Como puedes imaginar, estos sumadores son la unidad fundamental para realizar operaciones artiméticas con números binarios.

Por último, antes de acabar esta pequeña introducción, es precioso recordar la existencia de una puerta lógica llamada NOT. A la salida de este circuito obtenemos el resultado contrario al que hemos introducido, es decir, produce una negación lógica de la entrada.

A partir de la combinación de operadores lógicos anteriores es posible construir circuitos más complejos que nos permitirán realizar operaciones aritméticas básicas: suma, resta, multiplicación y división. Incluso es posible realizar circuitos que almacenen un estado lógico a modo de memoria.

Colección | Simon, el primer ordenador personal | Educación e informática

Biblioteca
Hasta aquí esta pequeña introducción. A continuación he compartido los manuales del Minivac por si quieres profundizar en su estudio. A pesar de su antigüedad te aconsejo que no subestimes el conocimiento que hay entre sus páginas…

Book I – Getting acquainted with Minivac 601
Books II, III, IV – What is a Digital Computer? / How Computers Make Logical Decisions /How Computers do Arithmetic
Book V and VI – How Computers Work for Man / MINIVAC Games
Notes and Corrections to the Minivac Manual
Minivac 601 Maintenance Manual
Boole, 1847 – The Laws of Thought
Shannon, 1938 – A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits

Comunicaciones por Fibra Óptica. Fundamentos y Conceptos

Adolfo García Yagüe – Noviembre 2013 – Telnet Redes Inteligentes, S. A.

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Como hemos comentado en la presentación sobre GPON, la fibra óptica está entrando en nuestros hogares de manera progresiva. Con esta excusa, es un buen momento para repasar los fundamentos básicos que hacen posible las comunicaciones por fibra.

Agenda

Geometría y Fibra Óptica

• Naturaleza de la luz
• Óptica geométrica
• Refracción
• Reflexión
• Ángulo límite
• Reflexión interna total
• Fibra óptica
• Apertura numérica
• Tipos de fibra óptica
• Fabricación de fibras ópticas

Ondas, Electromagnetismo y Fotones

• Teoría ondulatoria
• Características de una onda
• Experimento de Young
• Espectro electromagnético
• Onda electromagnética
• Polaridad de una onda electromagnética
• Teoría cuántica de la luz
• Efecto fotoeléctrico y la absorción
• Emisión estimulada
• Láser

Atenuación y Dispersión

• Fenómeno de atenuación
• Atenuación y decibelios
• Relación entre dBm y mW
• Atenuación por absorción
• Atenuación de Rayleigh
• Atenuación por irregularidades geométrica
• Fenómenos de dispersión
• Dispersión modal
• Dispersión cromática
• Perfil de dispersión y sus efectos
• Dispersión por polarización modal (PMD)
• Valor máximo de PMD

Tipos de Fibra Óptica

• Fibras Multimodo
• G.652
• G.653 y G.654
• G.655 y G.656
• G.657.A
• G.657.B

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Práctica de espectrometría

Sergio Torres Alonso | La espectrometría permite conocer la naturaleza de una sustancia o cuerpo a partir del análisis de las ondas que emite. Todos los elementos químicos, sustancias o cuerpos de nuestro universo tienen una “huella” electromagnética cuántica que les hace inconfundibles. Las aplicaciones de la espectrometría y sus técnicas son múltiples, aunque los principios son básicamente los mismos: El objeto o sustancia a analizar se expone a una fuente de energía. A continuación, los electrones de los átomos que componen la muestra absorben esta energía y alcanzan un nivel energético superior para, posteriormente, volver a su estado energético natural emitiendo -en el transcurso- una onda electromagnética cuántica que registramos y nos permite conocer de qué sustancia se trata.

La utilidad de la espectrometría es muy grande porque permite analizar en los laboratorios sustancias desconocidas a partir de la radiación atómica de sus niveles energéticos (analizando la longitud de onda de su espectro atómico). Así es posible determinar el tipo de sustancia objeto de análisis. Es lo que utiliza la policía científica (el televisivo CSI) y, por supuesto, en laboratorios de investigación de la NASA o en técnicas médicas de radiodiagnóstico, como la resonancia magnética nuclear.

Pongamos un ejemplo: Una piedra cae del cielo y un buen hombre la recoge y decide llevarla a su laboratorio. Allí somete a la piedra a un bombardeo de fotones de silicio generados por una lámpara de gas de iones de silicio (Si2+). Estos fotones excitan a los electrones de los átomos de la piedra elevando su carga e incrementando así su nivel energético. Los electrones, al alcanzar a su nivel energético máximo, tienden a volver a su estado natural emitiendo la energía excedente en forma de ondas que son captadas por un sensor registrando su longitud o huella electromagnética. De esta forma es posible conocer los elementos que constituyen la piedra y así averiguar si ésta es un trozo de meteorito o, él del pueblo de al lado, ha intentado darle una pedrada.

Hagamos una pequeña práctica
Como en casa no disponemos de un espectrómetro, vamos a trabajar con las lecturas realizadas en un laboratorio con un equipo de lámpara de silicio programado para hacer lecturas cada 500 milisegundos.

1. Descarga el software EspView.exe para el análisis de espectros
2. Una vez tengas el programa funcionando, le das a «leer datos» y seleccionas el siguiente archivo intervalo.txt. Si eres curioso lo puedes editar en word o bloc de notas y verás las longitudes de onda que ha registrado el espectrómetro.
3. El siguiente paso es la calibración.  Con las flechas cursoras desplázate al máximo a la izquierda e introduce la siguiente cantidad en la calibración: 2200 (que se corresponde con el inicio de la toma de medidas por parte del espectrómetro de 2200 Armstrong). A continuación desplázate hasta la derecha e introduce en la calibración 2220 (que se corresponde con la finalización de las medidas en el laboratorio)

Tras la  calibración, mediante interpolación de medidas, el programa representa claramente 5 niveles energéticos máximos (picos) asociados a ciertas longitudes de onda. Como conocemos la huella electromagnética de todos los elementos de la tabla periódica llegamos a la conclusión de que lo que acabamos de medir se corresponde con el silicio y, por lo tanto, han intentado escalabrarnos…

El programa es muy fácil de usar, sólo necesitas las flechas y la tecla de Alt Shift junto con las flechas para dar o quitar zoom. En la parte superior del programa vas obteniendo en Armstrong la longitud de onda donde te encuentras.

Para resumir la teoría de lo que hemos visto podemos concluir que los átomos irradian energía, la energía son ondas, medibles, con una longitud y frecuencia. Dependiendo de la longitud de onda en la que lo hagan y lo excitados qué estén esos átomos podemos diferenciar si se trata de una sustancia u otra. Con la ecuación de  E=hf (de Einstein), el espectrómetro recoge diferentes longitudes de onda de una lámpara de silicio y el ordenador se encarga de tomar datos en un canal de entrada a unos 0,29 armstrong/segundo.

Espero que os haya sido interesante esta aproximación al mundo de la Física de partículas.

Fractales en la Naturaleza

por David de Torres

Para poder identificar las formas fractales en la naturaleza, debemos primero saber qué es un fractal y sus propiedades.

Benoît B. Mandelbrot, fue quien le dio por primera vez el nombre de “fractal” a este tipo de geometría y la definió como un objeto semi-geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas (Mandelbrot, The fractal geometry of nature, 1982).

K.J. Falconer definió las siguientes propiedades para las formas fractales (Falconer, 2003):

• Demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos euclídeos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación. Esta propiedad implica que en las ocasiones en las que la fractalización o el grado de detalle de la geometría tienda a infinito, será imposible medirla. Esto ha hecho que en la literatura matemática se les llame curvas monstruo, ya que la longitud de una curva fractal iterada hasta el infinito, contenida en un área finita, es infinita, algo que para la geometría tradicional es en sí mismo una paradoja.
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Esta propiedad teórica implica que su tamaño, ya sea en longitud o superficie, dependiendo de la dimensión que tenga el fractal, es mayor de lo que se podría esperar de una forma euclídea. Esta dimensión Hausdorff-Besicovitch es una forma de medir la dimensión fractal o la “fragmentación” de la geometría a estudiar y nos da una idea de cómo ocupa el espacio que la contiene.
• Posee autosimilaridad, ya sea exacta, cuasi-autosimilaridad o estadística, causado por la siguiente de las propiedades.
• Se crea a partir de un método recursivo. Este tipo de métodos son aquellos que se repiten aplicando la misma regla sucesivamente al resultado de la anterior. Este es el principal motivo de que encontremos fractales en la naturaleza de forma tan abundante, ya que se da en los procesos geológicos (la lluvia erosiona la misma montaña que ha erosionado una lluvia el día anterior) o el crecimiento de muchas estructuras biológicas, que utilizan este tipo de recursividad para el desarrollo de estructuras complejas.

Pero no todas las fractales son iguales. Por ello se introduce un término para poder caracterizarlas: la dimensión fractal. Esta medida puede medirse de diferentes maneras, y lo que intenta es dar una idea de cómo ocupa el espacio en el que está contenida la forma fractal. Cuanta más dimensión fractal tenga, más rápidamente crecerá al escalarla y por lo tanto, más longitud, superficie o volumen ocupa dentro de la dimensión euclídea que la contiene (si es una curva, un área o si es una superficie, un volumen).

Se llama dimensión fractal porque, a diferencia de los objetos tradicionales euclídeos (una curva tiene dimensión 1, la superficie de un plano tiene dimensión 2 y el volumen de una esfera tiene dimensión 3), sin embargo, una curva fractal puede tener una dimensión 1,26 (Curva de Koch – ver figura anterior) o la superficie fractal del brócoli una dimensión de 2,66, por ejemplo.

Las fractales en la naturaleza
Mandelbrot comienza la introducción de su libro “Geometría fractal en la naturaleza” (1982) de la siguiente forma: “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relámpagos no viajan en línea recta.” (Mandelbrot, The fractal geometry of nature, 1982).

Las características de las formas fractales vienen dadas por su propio proceso de creación y las podemos encontrar en diferentes aspectos de la naturaleza, como por ejemplo, en el terreno y en la geología. En 1967 Mandelbrot publicó un artículo en la revista Science titulado “¿Cuánto mide la costa de Inglaterra? Auto-similitud estadística y dimensión fraccioaria” (Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, 1967). En este artículo explica la “paradoja de la costa”. Esta se basa en que la longitud de la costa de Inglaterra varía dependiendo de la longitud de la escala que se utilice para medirla. Esto se debe a que la línea de la costa es un tipo de fractal generado por la erosión y la composición de la roca. Esto crea multitud de entrantes, salientes que forman en su conjunto curvas con propiedades fractales.

A su vez, las montañas también tienen geometría fractal, esta vez ocasionada por la erosión de la lluvia, el viento, la fractura de las rocas por los cambios de temperatura y las presiones y movimientos sísmicos que crean la cordillera rocosa en la que se ubica la montaña. Estos paisajes pueden incluso parametrizarse y generarse de forma virtual con programas informáticos de imagen digital, utilizando la autosimilitud y algoritmos recursivos.

Las desembocaduras de algunos ríos también presentan este tipo de geometría, originada por la ramificación de los diferentes caudales. En estos casos, como puede suceder también en las ramificaciones de los árboles o los rayos, no existe una autosimilitud exacta, sino una cuasi-similitud o una autosimilitud estadística.

La causa de que estos fenómenos tan distintos en principio tengan todos propiedades fractales se debe a que comparten el mismo proceso de formación, denominado agregación con difusión limitada o crecimiento fractal (Sander, 1987). Este tipo de crecimiento define la forma en la que se crean los perfiles de las costas, la propagación de los rayos o el crecimiento de los vasos sanguíneos de nuestro cuerpo (Ary L. Goldberger, 1990).

Las fractales en los seres vivos
Entre los seres vivos también podemos encontrar ejemplos sorprendentes de geometría fractal. Uno de los más llamativos es el Brocoli Romescu, que presenta una geometría fractal con una autosimilitud prácticamente perfecta. También el brócoli común presenta ramificación fractal, aunque la autosimilitud en este caso no sea tan exacta.

Uno de los ejemplos más clásicos de geometría fractal en la naturaleza proviene de una de las primeras plantas de nuestro planeta: los helechos. Estos presentan una autosimilitud casi perfecta entre sus ramificaciones. La razón de la aparición de este tipo de formas fractales en los organismos vivos se debe, al igual que en el caso de las costas y las montañas, a que se utiliza un método de creación simple y repetitivo para generar formas complejas.

Las ramificaciones son uno de los diseños biológicos más abundantes debido a su sencillez y su eficiencia a la hora de cubrir una superficie o volumen, una de las propiedades que las ramificaciones comparten con el resto de las fractales al ser una “curva monstruo” de iteraciones limitadas. El código genético de la planta le da la misma orden a una rama principal que a una secundaria: crece y bifúrcate creando una réplica de ti misma en cada ramificación. De esta forma, podemos encontrar ramificaciones con formas fractales tanto en helechos como en árboles, en las hojas de los mismos e incluso en nuestro propio sistema nervioso, cardiovascular o en los alveolos de nuestros pulmones.

En el caso de las plantas, este diseño les permite maximizar la superficie y de esta forma captar la mayor luz, CO2 y oxígeno posible. En el caso del sistema nervioso o las venas y arterias de nuestro cuerpo, nos permite cubrir y alimentar el máximo número de células y asegura que la presión sanguínea por cm2 en cada una de las ramificaciones es la misma al existir auto-similitud y por su proceso de formación fractal, al igual que la forma fractal de nuestros bronquios y alveolos pulmonares nos permite maximizar el intercambio de CO2 y oxígeno en cada inspiración. Para hacernos una idea del nivel de bifurcaciones y el gran aprovechamiento del espacio que se consigue dentro de los pulmones con este diseño fractal basta saber que la dimensión fractal de la superficie del interior de los pulmones, medida a partir de vaciados de pulmones humanos y otras especies, es de 2,7, cuando un plano euclídeo tradicional tiene dimensión 2.

Pero no sólo las formas de nuestros cuerpos son fractales, sino que si estudiamos las funciones corporales también encontraremos patrones fractales en ellas, e incluso esta característica fractal puede ser signo de salud en contraposición a patrones cíclicos periódicos (Ary L. Goldberger, 1990). Desde hace mucho tiempo la medicina tradicional ha considerado que un ritmo cardiaco regular era signo de salud y cuando un cuerpo envejecía los ritmos caóticos y erráticos aparecían como signo de enfermedad. Sin embargo, estudios recientes han demostrado que el ritmo cardiaco a lo largo del tiempo presenta una forma fractal y que en principio parece caótica, y por el contrario, los patrones repetitivos y periódicos son signo de enfermedad. Esto se debe a que un corazón sano es capaz de cambiar su ritmo cardiaco para compensar las necesidades del organismo, transmitidas por los sistemas simpático y parasimpático, creando estas oscilaciones caóticas. Un corazón enfermo no es capaz de adaptarse y cubrir las necesidades del organismo, y presenta una pauta regular, que termina por degenerar los tejidos y produciendo un fallo en el sistema.

También se han asociado las estructuras fractales de los sistemas fisiológicos tanto de distribución (sistema sanguíneo, linfático), como de recolección (digestivo, pulmonar) y de procesamiento de la información (neuronas y sistema nervioso) con la resistencia a lesiones y fallos parciales, debido a su auto-similaridad y a la redundancia de estructuras (Ary L. Goldberger, 1990). Esto hace que puedan seguir funcionando en caso de sufrir enfermedades, traumas o el deterioro causado por el estrés y el envejecimiento, permitiendo que las zonas sanas puedan suplir las funciones de las dañadas.

Bibliografía
Ary L. Goldberger, D. R. (1990). Caos y fractales en la fisiología humana. Investigación y Ciencia, 31-38.
Falconer, K. J. (2003). Fractal geometry: mathematical foundations and applications. Wiley.
Mandelbrot, B. (1967). How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, 636-638.
Mandelbrot, B. (1982). The fractal geometry of nature. W.H. Freeman.
Sander, L. M. (1987). Crecimiento Fractal. Investigación y Ciencia , 66-73.