Fractales en la Naturaleza

febrero 15, 2010 on 7:55 pm | In biología, matemáticas | 2 Comments

por David de Torres

Para poder identificar las formas fractales en la naturaleza, debemos primero saber qué es un fractal y sus propiedades.

Benoît B. Mandelbrot, fue quien le dio por primera vez el nombre de “fractal” a este tipo de geometría y la definió como un objeto semi-geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas (Mandelbrot, The fractal geometry of nature, 1982).

K.J. Falconer definió las siguientes propiedades para las formas fractales (Falconer, 2003):

• Demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos euclídeos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación. Esta propiedad implica que en las ocasiones en las que la fractalización o el grado de detalle de la geometría tienda a infinito, será imposible medirla. Esto ha hecho que en la literatura matemática se les llame curvas monstruo, ya que la longitud de una curva fractal iterada hasta el infinito, contenida en un área finita, es infinita, algo que para la geometría tradicional es en sí mismo una paradoja.
• Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Esta propiedad teórica implica que su tamaño, ya sea en longitud o superficie, dependiendo de la dimensión que tenga el fractal, es mayor de lo que se podría esperar de una forma euclídea. Esta dimensión Hausdorff-Besicovitch es una forma de medir la dimensión fractal o la “fragmentación” de la geometría a estudiar y nos da una idea de cómo ocupa el espacio que la contiene.
• Posee autosimilaridad, ya sea exacta, cuasi-autosimilaridad o estadística, causado por la siguiente de las propiedades.
• Se crea a partir de un método recursivo. Este tipo de métodos son aquellos que se repiten aplicando la misma regla sucesivamente al resultado de la anterior. Este es el principal motivo de que encontremos fractales en la naturaleza de forma tan abundante, ya que se da en los procesos geológicos (la lluvia erosiona la misma montaña que ha erosionado una lluvia el día anterior) o el crecimiento de muchas estructuras biológicas, que utilizan este tipo de recursividad para el desarrollo de estructuras complejas.

Pero no todas las fractales son iguales. Por ello se introduce un término para poder caracterizarlas: la dimensión fractal. Esta medida puede medirse de diferentes maneras, y lo que intenta es dar una idea de cómo ocupa el espacio en el que está contenida la forma fractal. Cuanta más dimensión fractal tenga, más rápidamente crecerá al escalarla y por lo tanto, más longitud, superficie o volumen ocupa dentro de la dimensión euclídea que la contiene (si es una curva, un área o si es una superficie, un volumen).

Se llama dimensión fractal porque, a diferencia de los objetos tradicionales euclídeos (una curva tiene dimensión 1, la superficie de un plano tiene dimensión 2 y el volumen de una esfera tiene dimensión 3), sin embargo, una curva fractal puede tener una dimensión 1,26 (Curva de Koch – ver figura anterior) o la superficie fractal del brócoli una dimensión de 2,66, por ejemplo.

Las fractales en la naturaleza
Mandelbrot comienza la introducción de su libro “Geometría fractal en la naturaleza” (1982) de la siguiente forma: “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los relámpagos no viajan en línea recta.” (Mandelbrot, The fractal geometry of nature, 1982).

Las características de las formas fractales vienen dadas por su propio proceso de creación y las podemos encontrar en diferentes aspectos de la naturaleza, como por ejemplo, en el terreno y en la geología. En 1967 Mandelbrot publicó un artículo en la revista Science titulado “¿Cuánto mide la costa de Inglaterra? Auto-similitud estadística y dimensión fraccioaria” (Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, 1967). En este artículo explica la “paradoja de la costa”. Esta se basa en que la longitud de la costa de Inglaterra varía dependiendo de la longitud de la escala que se utilice para medirla. Esto se debe a que la línea de la costa es un tipo de fractal generado por la erosión y la composición de la roca. Esto crea multitud de entrantes, salientes que forman en su conjunto curvas con propiedades fractales.

A su vez, las montañas también tienen geometría fractal, esta vez ocasionada por la erosión de la lluvia, el viento, la fractura de las rocas por los cambios de temperatura y las presiones y movimientos sísmicos que crean la cordillera rocosa en la que se ubica la montaña. Estos paisajes pueden incluso parametrizarse y generarse de forma virtual con programas informáticos de imagen digital, utilizando la autosimilitud y algoritmos recursivos.

Las desembocaduras de algunos ríos también presentan este tipo de geometría, originada por la ramificación de los diferentes caudales. En estos casos, como puede suceder también en las ramificaciones de los árboles o los rayos, no existe una autosimilitud exacta, sino una cuasi-similitud o una autosimilitud estadística.

La causa de que estos fenómenos tan distintos en principio tengan todos propiedades fractales se debe a que comparten el mismo proceso de formación, denominado agregación con difusión limitada o crecimiento fractal (Sander, 1987). Este tipo de crecimiento define la forma en la que se crean los perfiles de las costas, la propagación de los rayos o el crecimiento de los vasos sanguíneos de nuestro cuerpo (Ary L. Goldberger, 1990).

Las fractales en los seres vivos
Entre los seres vivos también podemos encontrar ejemplos sorprendentes de geometría fractal. Uno de los más llamativos es el Brocoli Romescu, que presenta una geometría fractal con una autosimilitud prácticamente perfecta. También el brócoli común presenta ramificación fractal, aunque la autosimilitud en este caso no sea tan exacta.

Uno de los ejemplos más clásicos de geometría fractal en la naturaleza proviene de una de las primeras plantas de nuestro planeta: los helechos. Estos presentan una autosimilitud casi perfecta entre sus ramificaciones. La razón de la aparición de este tipo de formas fractales en los organismos vivos se debe, al igual que en el caso de las costas y las montañas, a que se utiliza un método de creación simple y repetitivo para generar formas complejas.

Las ramificaciones son uno de los diseños biológicos más abundantes debido a su sencillez y su eficiencia a la hora de cubrir una superficie o volumen, una de las propiedades que las ramificaciones comparten con el resto de las fractales al ser una “curva monstruo” de iteraciones limitadas. El código genético de la planta le da la misma orden a una rama principal que a una secundaria: crece y bifúrcate creando una réplica de ti misma en cada ramificación. De esta forma, podemos encontrar ramificaciones con formas fractales tanto en helechos como en árboles, en las hojas de los mismos e incluso en nuestro propio sistema nervioso, cardiovascular o en los alveolos de nuestros pulmones.

En el caso de las plantas, este diseño les permite maximizar la superficie y de esta forma captar la mayor luz, CO2 y oxígeno posible. En el caso del sistema nervioso o las venas y arterias de nuestro cuerpo, nos permite cubrir y alimentar el máximo número de células y asegura que la presión sanguínea por cm2 en cada una de las ramificaciones es la misma al existir auto-similitud y por su proceso de formación fractal, al igual que la forma fractal de nuestros bronquios y alveolos pulmonares nos permite maximizar el intercambio de CO2 y oxígeno en cada inspiración. Para hacernos una idea del nivel de bifurcaciones y el gran aprovechamiento del espacio que se consigue dentro de los pulmones con este diseño fractal basta saber que la dimensión fractal de la superficie del interior de los pulmones, medida a partir de vaciados de pulmones humanos y otras especies, es de 2,7, cuando un plano euclídeo tradicional tiene dimensión 2.

Pero no sólo las formas de nuestros cuerpos son fractales, sino que si estudiamos las funciones corporales también encontraremos patrones fractales en ellas, e incluso esta característica fractal puede ser signo de salud en contraposición a patrones cíclicos periódicos (Ary L. Goldberger, 1990). Desde hace mucho tiempo la medicina tradicional ha considerado que un ritmo cardiaco regular era signo de salud y cuando un cuerpo envejecía los ritmos caóticos y erráticos aparecían como signo de enfermedad. Sin embargo, estudios recientes han demostrado que el ritmo cardiaco a lo largo del tiempo presenta una forma fractal y que en principio parece caótica, y por el contrario, los patrones repetitivos y periódicos son signo de enfermedad. Esto se debe a que un corazón sano es capaz de cambiar su ritmo cardiaco para compensar las necesidades del organismo, transmitidas por los sistemas simpático y parasimpático, creando estas oscilaciones caóticas. Un corazón enfermo no es capaz de adaptarse y cubrir las necesidades del organismo, y presenta una pauta regular, que termina por degenerar los tejidos y produciendo un fallo en el sistema.

También se han asociado las estructuras fractales de los sistemas fisiológicos tanto de distribución (sistema sanguíneo, linfático), como de recolección (digestivo, pulmonar) y de procesamiento de la información (neuronas y sistema nervioso) con la resistencia a lesiones y fallos parciales, debido a su auto-similaridad y a la redundancia de estructuras (Ary L. Goldberger, 1990). Esto hace que puedan seguir funcionando en caso de sufrir enfermedades, traumas o el deterioro causado por el estrés y el envejecimiento, permitiendo que las zonas sanas puedan suplir las funciones de las dañadas.

Bibliografía
Ary L. Goldberger, D. R. (1990). Caos y fractales en la fisiología humana. Investigación y Ciencia, 31-38.
Falconer, K. J. (2003). Fractal geometry: mathematical foundations and applications. Wiley.
Mandelbrot, B. (1967). How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, 636-638.
Mandelbrot, B. (1982). The fractal geometry of nature. W.H. Freeman.
Sander, L. M. (1987). Crecimiento Fractal. Investigación y Ciencia , 66-73.